Autofunciones del Laplaciano: interacciones entre geometría y análisis

Resumen:

Resumen. Las autofunciones del Laplaciano o, más generalmente, de un operador de Schrödinger en una variedad compacta se comportan cualitativamente como polinomios de grado alto: tienden a oscilar más y más a medida que el autovalor correspondiente crece. En algunas situaciones se observa el fenómeno conocido como 'scarring': una cierta familia de autofunciones, asociada con autovalores cada vez mayores, tiende a concentrarse en un subconjunto de la variedad (por ejemplo, una geodésica periódica). La aparición de este fenómeno está ligado a propiedades geométricas globales de la variedad, en particular la dinámica de su flujo geodésico. El estudio de este fenómeno ha suscitado el interés de distintas comunidades matemáticas  en los últimos cincuenta años, desde la física matemática hasta la teoría de números. Intentaré dar una panorámica sobre el estado del arte de este rico tema y presentar algunas de las ideas principales en un modelo sencillo: el oscilador armónico cuántico.

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